The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0, X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0, X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__and(true, and(true, X216_4)) →⁺ a__and(true, X216_4)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X216_4 / and(true, X216_4)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0', X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0', X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Types:
a__and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
true :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
mark :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
false :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
0' :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
s :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
nil :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
cons :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
hole_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if1_0 :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0 :: Nat → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0', X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Types:
a__and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
true :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
mark :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
false :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
0' :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
s :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
nil :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
cons :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
hole_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if1_0 :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0 :: Nat → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if

Generator Equations:
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(x), true)

The following defined symbols remain to be analysed:
mark

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)) → gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(0)) →_R^Ω(1)
true

Induction Step:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
a__add(mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)), true) →_IH
a__add(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(c5_0), true) →_R^Ω(1)
add(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), true)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0', X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Types:
a__and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
true :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
mark :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
false :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
0' :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
s :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
nil :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
cons :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
hole_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if1_0 :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0 :: Nat → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if

Lemmas:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)) → gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(x), true)

No more defined symbols left to analyse.

(12) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)) → gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(13) BOUNDS(n^1, INF)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0', X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Types:
a__and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
true :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
mark :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
false :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
0' :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
s :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
add :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
nil :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
cons :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
first :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
a__from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
from :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
and :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
if :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
hole_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if1_0 :: true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0 :: Nat → true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if

Lemmas:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)) → gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(x), true)

No more defined symbols left to analyse.

(15) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0)) → gen_true:false:0':s:add:nil:cons:first:from:and:if2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(16) BOUNDS(n^1, INF)